Question

若直線y=x+m與曲線x=

2y-y2

有且只有一個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是

0＜m≤2，或m=1-

2

．

Answer 1

分析：曲線x=

2y-y2

代表以點（0，1）為圓心，1為半徑的圓的右半圓，而直線y=x+m的斜率為1，截距為m，在同一個坐標系中作出它們的圖象，數(shù)形結(jié)合可得．

解答：解：對x=

2y-y2

平方可得x²+y²-2y=0，整理可得x²+（y-1）²=1，
故曲線x=

2y-y2

代表以點（0，1）為圓心，1為半徑的圓的右半圓，
而直線y=x+m的斜率為1，截距為m，在同一個坐標系中作出它們的圖象：

由圖象可得當直線介于l₁，l₂之間，或為l₃時兩圖象有且只有一個公共點，
由l₃為相切可得

|0-1+m|

12+(-1)2

=1，解得m=1-

2

，或m=1+

2

，（舍去）
故當0＜m≤2或m=1-

2

時，滿足題意，
故答案為：0＜m≤2，或m=1-

2

點評：本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關鍵，屬中檔題．