Question

13．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），且a₁=a₂₀，則a₁的最大值是512．

Answer 1

分析 由各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），可得：${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_n+1a_n=1．又a₁=a₂₀，a₁₉a₂₀=1，應該使得a₁₉取得最小值．利用等比數(shù)列的通項公式及其已知條件即可得出．

解答 解：∵各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足（2a_n+1-a_n）（a_n+1a_n-1）=0（n∈N^*），
∴${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，或a_n+1a_n=1．
又a₁=a₂₀，a₁₉a₂₀=1，應該使得a₁₉取得最小值．
根據(jù)${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}$，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$（n≤19）．
取a₁₉=${a}_{1}×（\frac{1}{2}）^{18}$，a₁＞0．又a₁₉=$\frac{1}{{a}_{20}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
∴${a}_{1}×（\frac{1}{2}）^{18}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
解得a₁=2⁹=512．
∴a₁的最大值是512．
故答案為：512．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了分析問題與解決問題的能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．