Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F(0,p)（p＞0），直線l:y=-p，點(diǎn)P在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點(diǎn), 過R、P分別作直線l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l ．
（Ⅰ）求動點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點(diǎn)M做曲線C的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為A、B，求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當(dāng)直線MA,MF,MB的斜率存在時(shí)，直線MA,MF,MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線．   
∴|PQ|=|QF|．
故動點(diǎn)Q的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：．
（Ⅱ）設(shè)，兩切點(diǎn)為，
由得，求導(dǎo)得．
∴兩條切線方程為 ①  
②   
對于方程①，代入點(diǎn)M(m,-p)得，，
又∴
整理得：
同理對方程②有即x₁,x₂為方程的兩根
.∴ ③   
設(shè)直線AB的斜率為k，
所以直線AB的方程為，
展開得：，
代入③得：
∴直線恒過定點(diǎn)(0.p).   
(Ⅲ) 證明：由（Ⅱ）的結(jié)論，設(shè)（0.p）， ， 且有，
   ∴               
∴
=                                                  
又∵，
所以即直線MA,MF,MB的斜率倒數(shù)成等差數(shù)列.