Question

設(shè)有3個投球手，其中一人命中率為q，剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為p（p，q∈（0，1）），每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．
（Ⅰ）當(dāng)p=q=

1

2

時，求E（ξ）及D（ξ）；
（Ⅱ）當(dāng)p=

1

3

，q=

2

3

時，求ξ的分布列和E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）每位投球手均獨(dú)立投球一次，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等，判斷符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果
（2）由題意知每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．因?yàn)槿齻�人投球得到最多投入3個，最少0個，得到變量的可能取值，看出對應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的規(guī)律公式得到概率．

解答：解：（Ⅰ）∵每位投球手均獨(dú)立投球一次，
當(dāng)p=q=

1

2

時，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等，
∴ξ～B（3，

1

2

），由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果
∴Eξ=np=3×

1

2

=

3

2

，Dξ=np（1-p）=3×

1

2

×(1-

1

2

)=

3

4

（Ⅱ）由題意知每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．
則ξ的可取值為0，1，2，3，
ξ=0表示三個人都沒有射中，
根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的規(guī)律公式得到概率
P(ξ=0)=(1-

2

3

)(1-

1

3

)2=

4

27

P(ξ=1)=

2

3

(1-

2

3

)2+(1-

2

3

)

C

1 2

2

3

(1-

2

3

)=(

2

3

)3+2(

1

3

)2(

2

3

)=

12

27

；P(ξ=2)=

2

3

•

2

3

•

C

1 2

1

3

(1-

1

3

)+(1-

2

3

)(

1

3

)2=

9

27

；
P(ξ=3)=

2

3

•(

1

3

)2=

2

27

∴ξ的分布列為

∴Eξ=0•

4

27

+1×

12

27

+2×

9

27

+3×

2

27

=

4

3

點(diǎn)評：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．