已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(
1
2
)=-
2
5
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
分析：（1）由f（0）=0，解得b的值，再根據(jù)f（
1
2
）=-
2
5
，解得a的值，從而求得f（x）的解析式．
（2）設(shè)-1＜x1＜x2＜1，求得f（x1）-f（x2）=
(  x2-x1)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，可得函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）由不等式f（t-1）+f（t）＜0，可得f（t-1）＜f（-t），可得
-1＜t-1＜1
-1＜t＜1
t-1＞-t
，由此求得t的范圍
解答：解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，
解得b=0，
∴f（x）=
ax
x2+1
．
再根據(jù)f（
1
2
）=
a
2
1
4
+1
=
2a
5
=-
2
5
，
解得a=-1，∴f（x）=
-x
x2+1
．
（2）設(shè)-1＜x1＜x2＜1，
∵f（x1）-f（x2）=
-x1
x12+1
-
-x2
x22+1
=
x2(x12+1)-x1(x22+1)
(x12+1)(x22+2)

=
(  x2-x1)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
，
而由題設(shè)可得 x2-x1＞0，1-x1x2＞0，
∴
(  x2-x1)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
＞0，
故 f（x1）-f（x2）＞0，
故函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
（3）由不等式f（t-1）+f（t）＜0，
可得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
∴
-1＜t-1＜1
-1＜t＜1
t-1＞-t
，
解得
1
2
＜t＜1，
故t的范圍為（
1
2
，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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