Question

已知函數(shù)f(x)=

ax

x-1

(a≠0)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調性，并用單調性的定義加以證明；
（2）若a=1，求函數(shù)f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)單調性的定義，進行作差變形整理，可得當a＞0時，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，當a＜0時，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)（1）的單調性，算出函數(shù)在在[-

1

2

，

1

2

]上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域．

解答：解：（1）當a＞0時，設-1＜x₁＜x₂＜1
f(x1)-f(x2)=

ax1

x1-1

-

ax2

x2-1

=

ax1(x2-1)-ax2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

a(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵x₁-1＜0，x₂-1＜0，a（x₂-x₁）＞0
∴

a(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，得f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)；
同理可得，當a＜0時，函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（2）當a=1時，由（1）得f（x）=

x

x-1

在（-1，1）上是減函數(shù)
∴函數(shù)f（x在[-

1

2

，

1

2

]上也是減函數(shù)，其最小值為f（

1

2

）=-1，最大值為f（-

1

2

）=

1

3

由此可得，函數(shù)f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域為[-1，

1

3

]．

點評：本題給出分式函數(shù)，討論了函數(shù)的單調性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，著重考查了函數(shù)單調性的判斷與證明和函數(shù)的值域等知識，屬于基礎題．