Question

近年來(lái)，政府提倡低碳減排，某班同學(xué)利用寒假在兩個(gè)小區(qū)逐戶(hù)調(diào)查人們的生活習(xí)慣是否符合低碳觀念．若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱(chēng)為“低碳族”，否則稱(chēng)為“非低碳族”．?dāng)?shù)據(jù)如下表（計(jì)算過(guò)程把頻率當(dāng)成概率）．B小區(qū)低碳族非低碳族頻率p0.80.2A小區(qū)低碳族非低碳族頻率p0.50.5

A小區(qū)	低碳族	非低碳族
頻率 p	0.5	0.5

小區(qū)	低碳族	非低碳族
頻率 p	0.8	0.2

（Ⅰ） 如果甲、乙來(lái)自A小區(qū)，丙、丁來(lái)自B小區(qū)，求這4人中恰有2人是低碳族的概率；
（Ⅱ）A小區(qū)經(jīng)過(guò)大力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后隨機(jī)地從A小區(qū)中任選3個(gè)人，記X表示3個(gè)人中低碳族人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)事件C表示“這4人中恰有2人是低碳族”．利用互斥事件概率計(jì)算公式能求出這4人中恰有2人是低碳族的概率．
（Ⅱ）設(shè)A小區(qū)有a人，X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件C表示“這4人中恰有2人是低碳族”．…（1分）P(C)=

C

2 2

•0.52•

C

2 2

•0.22+

C

1 2

•0.5×0.5×

C

1 2

•0.2×0.8+

C

2 2

•0.52•

C

2 2

•0.82
=0.01+0.16+0.16=0.33．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)A小區(qū)有a人，
兩周后非低碳族的概率P=

a×0.5×( 1-20% )2

a

=0.32．
故低碳族的概率P=1-0.32=0.68．…（7分）
X的所有可能取值為0，1，2，3，
低碳族的概率P=0.68=

17

25

，
P(X=0)=(

8

25

)3，
P(X=1)=

C

1 3

17

25

•(

8

25

)2，
P(X=2)=

C

2 3

(

17

25

)2•

8

25

，
P(X=3)=(

17

25

)3，
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	( 8 25 )3	C 1 3 17 25 •( 8 25 )2	C 2 3 ( 17 25 )2• 8 25	( 17 25 )3

因隨機(jī)地從A小區(qū)中任選3個(gè)人，這3個(gè)人是否為低碳族相互獨(dú)立，
且每個(gè)人是低碳族的概率都是0.68，
故這3個(gè)人中低碳族人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即X～B（3，0.68），
故E（X）=3×0.68=2.04．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和分布列的求法，是中檔題．