Question

數(shù)列{b_n}（n∈N^*）是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁•b₃=4．
（1）若a_n=log₂b_n+3，求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若

a

2 1

+a2+a3+…+a_m≤a₄₆，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）由b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃可求b₁，b₃，進而可求公比q，代入等比數(shù)列的通項公式；由a_n=log₂b_n+3=n+2，要證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，只要證明a_n+1-a_n=d（d為常數(shù)）；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得出

a

2 1

+a2+a3+…+a_m=9+

(4+m+2)(m-1)

2

≤48，解出m范圍即可得出答案．

解答：解：（1）∵b₁+b₃=5，b₁b₃=4，且b₁＜b₃
∴b₁=1，b₃=4
∴q=2
∴bn=2n-1
∵a_n=log₂b_n+3=n+2，
∵a_n+1-a_n=（n+1）+2-（n+2）=1，
∴a_n=3+（n-1）×1=n+2
所以數(shù)列{a_n}是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

a

2 1

+a2+a3+…+a_m=9+

(a2+am)(m-1)

2

≤48

即9+

(4+m+2)(m-1)

2

≤48
整理得m²+5m-84≤0
解得：-12≤m≤7
∵m∈N^*
∴m_max=7

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項 公式及等差數(shù)列的定義在證明等差數(shù)列中的應用，屬于中檔題．