Question

14．直線x-4y+1=0經(jīng)過拋物線y=ax²的焦點(diǎn)，且此拋物線上存在一點(diǎn)P，使PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2-m），則正數(shù)m的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 由拋物線的焦點(diǎn)，得到未知量a，由垂直得到斜率乘積是-1，由此得到m的取值范圍．

解答 解：∵y=ax²的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{a}{4}$）
∴a=1，
∴拋物線為y=x²，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²）
∵PA⊥PB，其中，A（0，2+m），B（0，2-m），
∴k_PAk_PB=-1
∴x⁴-3x²+4-m²=0有解
令t=x²，（t≥0）
則方程變?yōu)閠²-3t+4-m²=0，且在t≥0上有解，
∵對(duì)稱軸為t=$\frac{3}{2}$，
∴只需△≥0即可，
∴m≥$\frac{\sqrt{7}}{2}$
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的焦點(diǎn)，垂直得到斜率乘積是-1，由此得到m的取值范圍．