Question

14．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為2，前n項(xiàng)和為S_n，且$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*）．
（1）求a₂的值；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若a_m，a_p，a_r（m，p，r∈N^*，m＜p＜r）成等比數(shù)列，試比較p²與mr的大小，并證明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，且$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*）．n=1時(shí)可得：$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4×2-1}$，解得a₂．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*），可得：4S_n-1=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，當(dāng)n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=1，即b_n-b_n-1=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（3）由（2）可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{4n-1}{4}$，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4n+3}{4n-1}$．利用“累乘求積”可得：a_n=$\frac{8n-2}{3}$．由a_m，a_p，a_r（m，p，r∈N^*，m＜p＜r）成等比數(shù)列，可得$（\frac{8p-2}{3}）^{2}$=$\frac{8m-2}{3}$×$\frac{8r-2}{3}$，（4p-1）²=16mr-4（m+r）+1，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，且$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*）．∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4×2-1}$，解得a₂=$\frac{14}{3}$．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{4{S}_{n}-1}$（n∈N^*），可得：4S_n-1=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n-1-1=$\frac{2{a}_{n-1}{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，
相減可得：4a_n=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{2{a}_{n-1}{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，a_n≠0，
可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2，變形為$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}+{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2，
化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=1，
∴b_n-b_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{\frac{14}{3}-2}$=$\frac{3}{4}$，公差為1．
∴b_n=$\frac{3}{4}$+（n-1）=$\frac{4n-1}{4}$．
（3）由（2）可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{4n-1}{4}$，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{4n+3}{4n-1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁=$\frac{4n-1}{4n-5}$×$\frac{4n-5}{4n-9}$×…×$\frac{11}{7}$×$\frac{7}{3}$×2=$\frac{8n-2}{3}$．n=1時(shí)也成立．
∴a_n=$\frac{8n-2}{3}$．
∵a_m，a_p，a_r（m，p，r∈N^*，m＜p＜r）成等比數(shù)列，
∴${a}_{p}^{2}$=a_ma_r，
∴$（\frac{8p-2}{3}）^{2}$=$\frac{8m-2}{3}$×$\frac{8r-2}{3}$，
化為：（4p-1）²=（4m-1）（4r-1），
∴（4p-1）²=16mr-4（m+r）+1≤16mr-8$\sqrt{mr}$+1=$（4\sqrt{mr}-1）^{2}$，
∴4p-1≤4$\sqrt{mr}$-1，
可得p²≤mr，等號(hào)不成立，因此p²＜mr．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累乘求積”方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．