Question

（1）證明函數(shù)f(x)=

1

x

的奇偶性．
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=

1

x

在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再利用奇函數(shù)的定義，即可證得函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行證明，作差后要因式分解．

解答：解：（1）f(x)=

1

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，

∵f(-x)=- 1 x =-f(x) ∴f(x)是奇函數(shù)

（2）設(shè)x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

，
由x₁，x₂∈（0，+∞），得x₁x₂＞0，
又由x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=

1

x

在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行．