若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
且f(-2)＞f(3)，設(shè)m＞-n＞0.
(1) 試證明函數(shù)f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)；
(2) 試比較f(m)和f(n)的大小，并說明理由

（1）見解析；（2）f(m)＜f(n)
（1）∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴對(duì)任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立，
據(jù)此可求出b="0." f(x)=ax2+c.再根據(jù)f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),
得f(2)＞f(3),因而a<0.且f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)..
（2）∵m＞-n＞0,∴f(m)＜f(-n).,再根據(jù)f(-n)=f(n)，可得f(m)＜f(n)..
∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴對(duì)任意x∈R，恒有f(-x)=f(x)，
即a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c恒成立.
∴2bx=0對(duì)任意x∈R恒成立.
∴b=0.
∴f(x)=ax2+c.
∵f(-2)＞f(3),且f(-2)=f(2),
∴f(2)＞f(3).
∴a<0.且f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù).
又∵m＞-n＞0,
∴f(m)＜f(-n).
而f(-n)=f(n)，
∴f(m)＜f(n)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若二次函數(shù)f(x)=a
x
2
 
+bx+c(a≠0)的圖象和直線y=x無交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：
①方程f[f（x）]=x一定沒有實(shí)數(shù)根；
②若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；
③若a＜0，則必存存在實(shí)數(shù)x0，使f[f（x0）]＞x0；
④若a+b+c=0，則不等式f[f（x）]＜x對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；
⑤函數(shù)g(x)=a
x
2
 
-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn)．
其中正確的結(jié)論是
①②④⑤
①②④⑤
（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x),若實(shí)數(shù)x0滿足f(x0)=x0,則稱x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若二次函數(shù)f(x) =x2+ax+1沒有不動(dòng)點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，則f(x)＝________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練5練習(xí)卷（解析版） 題型：填空題

若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和直線y=x無交點(diǎn),現(xiàn)有下列結(jié)論:①方程f(f(x))=x一定沒有實(shí)數(shù)根;

②若a>0,則不等式f(f(x))>x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立;

③若a<0,則必存在實(shí)數(shù)x0,使f(f(x0))>x0;

④若a+b+c=0,則不等式f(f(x))<x對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立;

⑤函數(shù)g(x)=ax2-bx+c的圖象與直線y=-x也一定沒有交點(diǎn).

其中正確的結(jié)論是　　　　(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)). 

 

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