Question

5．已知拋物線G：y²=2px（p＞0），過焦點F的動直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為M．
（1）當直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$時，|AB|=16．求拋物線G的方程；
（2）對于（1）問中的拋物線G，若點N（3，0），求證：|AB|-2|MN|為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點坐標，設直線l的方程為$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，代入拋物線的方程，設$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$，運用韋達定理，弦長公式，解方程可得p，進而得到所求方程；
（2）運用中點坐標公式，求得M的坐標，由兩點的距離公式，可得|MN|，進而得到|AB|-2|MN|為定值．

解答 解：（1）拋物線G：y²=2px（p＞0），知$F（\frac{p}{2}，0）$，
設直線l的方程為$x=ty+\frac{p}{2}（t∈R）$，$A（\frac{y_1^2}{2p}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{2p}，{y_2}）$，
由 $\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=2px}\\{x=ty+\frac{p}{2}}\end{array}}\right.$得：y²-2pty-p²=0，
△=4p²t²+4p²＞0，顯然成立．
可得${y_1}+{y_2}=2pt，{y_1}{y_2}=-{p^2}$，
（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=4p²t²+4p²，
（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$）²=$\frac{1}{4{p}^{2}}$（y₁-y₂）²•（y₁+y₂）²=t²（4p²t²+4p²），
可得$|AB|=\sqrt{{{（\frac{y_1^2}{2p}-\frac{y_2^2}{2p}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=2p（{t^2}+1）$．
當直線l傾斜角為$\frac{π}{4}$時，t=1，
|AB|=4p=16，得p=4，
所以拋物線G的方程為y²=8x．
（2）證明：由（1）知|AB|=8（t²+1），M為線段AB的中點，
且y₁+y₂=8t，
可得${x_M}=\frac{t}{2}（{y_1}+{y_2}）+2=4{t^2}+2$，y_M=4t，即M（4t²+2，4t），
又N（3，0），
若滿足題意$2|MN|=2\sqrt{{{（{4{t^2}+2-3}）}^2}+16{t^2}}=8{t^2}+2$，
此時|AB|-2|MN|=8（t²+1）-8t²-2=6．
綜上|AB|-2|MN|為定值6．

點評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運用聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式，考查中點坐標公式，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．