Question

20．已知a，b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0，則$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}$的最小值為7．

Answer 1

分析 a，b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0，可得$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1．于是$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²-1.$\frac{a}{2}$+b=$（\frac{2}{a}+\frac{1}）$$（\frac{a}{2}+b）$=$\frac{2b}{a}+\frac{a}{2b}$+2≥4，再利用柯西不等式（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²）（1+1）≥$（\frac{a}{2}+b）^{2}$即可得出．

解答 解：∵a，b均為正數(shù)，且ab-a-2b=0，∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=1．
則$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²-1．
$\frac{a}{2}$+b=$（\frac{2}{a}+\frac{1}）$$（\frac{a}{2}+b）$=$\frac{2b}{a}+\frac{a}{2b}$+2≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．
∴（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²）（1+1）≥$（\frac{a}{2}+b）^{2}$≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a=4，b=2時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²≥8，
∴$\frac{a^2}{4}-\frac{2}{a}+{b^2}-\frac{1}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b²-1≥7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查“乘1法”、基本不等式的性質(zhì)、柯西不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．