Question

（本小題滿分14分）

      以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。

（1）       求橢圓的離心率；     

（2）       求直線AB的斜率；     

（3）       設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值     

Answer 1

解析：（1）解：由//且，得，從而

  整理，得，故離心率     

（2）解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為

  設直線AB的方程為，即.      

 由已知設，則它們的坐標滿足方程組

消去y整理，得.

依題意，

而                 ①

                ②     

由題設知，點B為線段AE的中點，所以

                       ③

聯(lián)立①③解得，

將代入②中，解得.

(III)解法一：由（II）可知     

當時，得，由已知得.

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸

的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組

  ， 由解得故

當時，同理可得.      

解法二：由（II）可知

當時，得,由已知得

由橢圓的對稱性可知B，，C三點共線，因為點H（m，n）在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

      由直線的方程為,知點H的坐標為.

因為，所以，解得m=c（舍），或.

則，所以.      

當時同理可得