如圖，四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC＝4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PO·⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求證：OE∥平面PDC；

(Ⅲ)求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則

　　∵，，，∴四邊形為正方形，

　　∵為的中點(diǎn)，∴為的交點(diǎn)，

　　∵，，

　　∵，

　　∴，，

　　在三角形中，，∴，　4分

　　∵，∴平面；　5分

　　(Ⅱ)方法1：連接，∵為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，

　　∵平面，平面，

　　∴平面．　9分

　　方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以過(guò)分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

　　由已知得，，，，，

　　，

　　則，，，．

　　∴

　　∴∵平面，平面，

　　∴平面；　9分

　　(Ⅲ)設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，

　　則，即，解得，令，

　　則平面的一個(gè)法向量為，又

　　則，

　　∴直線與平面所成角的正弦值為．　12分


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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