Question

8．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE與平面ABC所成的角為θ，且$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（1）求證：平面ACD⊥平面ADE
（2）記AC=x，V（x）表示三棱錐A-CBE的體積，求V（x）的表達式及最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得DC⊥BC，BC⊥AC，從而BC⊥平面ACD，由此能證明DE⊥平面ADE．
（2）由BE⊥平面ABC，BE=$\sqrt{3}$，由BC=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2），得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$，由此能求出V（x）的表達式及最大值．

解答 證明：（1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，
∴CD∥BE，BC∥DE，
∵CD⊥平面ABC，AB=2，AE與平面ABC所成的角為θ，且$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
BC?平面ABC，∴DC⊥BC，
∵AB為圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACD，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE．
解：（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE，
∴BE⊥平面ABC，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=2，得BE=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，∵BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{4-{x}^{2}}$（0＜x＜2），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}x\sqrt{4-{x}^{2}}$，
∴V（x）=V_A-CBE=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BE=$\frac{\sqrt{3}}{6}•\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{3}}{6}•\frac{{x}^{2}+（4-{x}^{2}）}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當且僅當x²=4-x²，即x=$\sqrt{2}$∈（0，2）時，“=”成立．
即當AC=$\sqrt{2}$時，V（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$V（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{6}x\sqrt{4-{x^2}}$（0＜x＜2），$V{（x）_{max}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的表達式及最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．