Question

已知函數(shù)f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a為實(shí)常數(shù))．

(1)若a＝1，作函數(shù)f(x)的圖象；

(2)設(shè)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式；

(3)設(shè)h(x)＝，若函數(shù)h(x)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）

（2）g(a)＝（3）

【解析】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－|x|＋1＝作圖如下．

(2)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)＝ax2－x＋2a－1.

若a＝0，則f(x)＝－x－1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g(a)＝f(2)＝－3.

若a≠0，則f(x)＝a＋2a－－1，f(x)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝.

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g(a)＝f(2)＝6a－3.

當(dāng)0<<1，即a>時(shí)，f(x)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，g(a)＝f(1)＝3a－2.

當(dāng)1≤≤2，即≤a≤時(shí)，g(a)＝f＝2a－－1.

當(dāng)>2，即0<a<時(shí)，f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g(a)＝f(2)＝6a－3.

綜上可得g(a)＝

(3)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，h(x)＝ax＋－1，在區(qū)間[1，2]上任取x1、x2，且x1<x2，

則h(x2)－h(x1)＝

＝(x2－x1)＝(x2－x1).

因?yàn)?/span>h(x)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以h(x2)－h(x1)>0.

因?yàn)?/span>x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，

即ax1x2>2a－1.

當(dāng)a＝0時(shí)，上面的不等式變?yōu)?/span>0>－1，即a＝0時(shí)結(jié)論成立．

當(dāng)a>0時(shí)，x1x2>，由1<x1x2<4，得≤1，解得0＜a≤1.

當(dāng)a<0時(shí)，x1x2<，由1<x1x2<4，得≥4，解得－≤a＜0.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為