Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，點M是PD中點．
（1）求證：PB∥平面ACM；
（2）求直線CD與平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連結BD交AC于O點，則O為BD中點，由三角形中位線的性質可得OM∥PB．再根據直線和平面平行的判定定理，證得PB∥平面ACM．
（2）建立如圖所示直角坐標系，求出

CD

和平面ACM的一個法向量

n

的坐標，設所求角為α，則由sinα=|

CD • n

| CD |•| n |

|求得結果．

解答：解：（1）連結BD交AC于O點，則O為BD中點．
∵點M是PD中點，∴OM∥PB．
再根據OM?平面ACM，PB?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（2）建立如圖所示直角坐標系，則A（0，0，0），
P（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）．∴

CD

=(-2，0，0)，

AM

=(0，2，2)，

AC

=(2，4，0)，
設平面ACM的一個法向量

n

=(x，y，z)，
則

2x+4y=0 2y+2z=0

，令z=1，則

n

=(2，-1，1)．
設所求角為α，則sinα=|

CD • n

| CD |•| n |

|=

6

3

，
即直線CD與平面ACM所成角的正弦值為

6

3

．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，用向量法求直線和平面所成的角，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．