Question

12．動(dòng)直線y=kx+1與y軸交于點(diǎn)A，與曲線y²=x-3交于不同的兩點(diǎn)B和C，點(diǎn)P在動(dòng)直線上，且滿足$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，其中λ∈R，若D（0，-1），求△DPA的重心Q的軌跡及軌跡方程．

Answer 1

分析 分別設(shè)出P、A、B、C的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，由向量共線的條件得到坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線與圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系得到B，C的橫坐標(biāo)的和與積，表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)k求得P的軌跡，進(jìn)而可求△DPA的重心Q的軌跡及軌跡方程．

解答 解：設(shè)P（x，y），A（0，1），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），
∵$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），
∴x_B=λx_C，x-x_B=λ（x_C-x），
∴x=$\frac{2{x}_{B}{x}_{C}}{{x}_{B}+{x}_{C}}$   ①
設(shè)直線的方程為y=kx+1，
與曲線y²=x-3聯(lián)立，得k²x²+（2k-1）x+4=0．
則x_B+x_C=$\frac{1-2k}{{k}^{2}}$，x_Bx_C=$\frac{4}{{k}^{2}}$
代入①得：x=$\frac{8}{1-2k}$，y=kx+1=$\frac{6k+1}{1-2k}$．
消去k，得x-2y-6=0（x≥3）；
設(shè)Q（m，n），
∵A（0，1），D（0，-1），
∴m=$\frac{1}{3}$x，n=$\frac{1}{3}$y，
∴x=3m，y=3n，
代入x-2y-6=0（x≥3），可得m-2n-2=0（m≥1），
∴△DPA的重心Q的軌跡方程x-2y-2=0（x≥1），軌跡為射線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，考查了計(jì)算能力，是高考試卷中的壓軸題．