Question

8．已知P是直線y=x+1上一點，M，N分別是圓C₁：（x-3）²+（y+3）²=1與圓C₂：（x+4）²+（y-4）²=1上的點則|PM|-|PN|的最大值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由于|PM|-|PN|≤（|PC₁|+1）-（|PC₂|-1）=2+|PC₁|-|PC₂|．求出C₂（-4，4）關(guān)于直線l：x-y-1=0的對稱點為C₃（3，-3），則2+|PC₁|-|PC₂ |=2+|PC₁|-|PC₃|≤|C₁C₃|+2≤2，由此可得|PM|-|PN|的最大值．

解答 解：圓C₁：（x-3）²+（y+3）²=1的圓心為C₁：（3，-3）、半徑等于1，
C₂：（x+4）²+（y-4）²=1的圓心C₂（-4，4）、半徑為1，
|PM|-|PN|≤（|PC₁|+1）-（|PC₂|-1）=2+|PC₁|-|PC₂|．
設(shè)C₂（-4，4）關(guān)于直線l：x-y+1=0的對稱點為C₃（h，k），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k-4}{h+4}×1=-1}\\{\frac{h-4}{2}-\frac{k+4}{2}+1=0}\end{array}\right.$，求得h=3，k=-3，可得C₃（3，-3），與C₁：（3，-3）重合
則2+|PC₁|-|PC₂ |=2+|PC₁|-|PC₃|≤|C₁C₃|+2≤2，
即當點P是直線C₁C₃和直線l的交點時，|PM|-|PN|取得最大值為2．
故選：C．

點評 本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．