Question

如圖所示的拋物線y=-

1

20

（1+k²）x²+kx（k＞0，0≤x≤S）刻畫的是某種炮彈發(fā)射后的飛行軌跡，其中x、y分別表示炮彈從發(fā)射點(diǎn)到即時位置在水平方向上和豎直方向上的位移，且其單位均為千米．炮彈的射程是指炮彈在地平面上的落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)S，炮彈的射高是指炮彈飛行軌跡的最大高度．
（1）求當(dāng)炮彈的射程為10千米時k值；
（2）求炮彈的射高關(guān)于k的函數(shù)g（k）；
（3）問：是否存在k的值，使得通過適當(dāng)調(diào)整炮彈的發(fā)射方位，就能擊中飛行高度為5千米的飛行物．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用,函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：應(yīng)用題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得：點(diǎn)（10，0）在拋物線上，代入可求當(dāng)炮彈的射程為10千米時k值；
（2）由題意得：炮彈的射高為拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求炮彈的射高關(guān)于k的函數(shù)g（k）；
（3）求得炮彈飛行軌跡的最大高度小于5千米，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得：點(diǎn)（10，0）在拋物線上，…（2分）
∴-

1

20

（1+k²）×10²+10k=0，解得：k=1．…（4分）
（2）由題意得：炮彈的射高為拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
∴g（k）=

-k2

4[- 1 20 (1+k2)]

=

5k2

1+k2

（k＞0）．…（8分）
（3）g（k）=5（1-

1

1+k2

），
∵k＞0，∴0＜

1

1+k2

＜1，∴0＜g（k）＜5，
∴炮彈飛行軌跡的最大高度小于5千米，
∴炮彈不可能擊中飛行高度為5千米的飛行物．…（12分）
答：（1）求當(dāng)炮彈的射程為10千米時k值為1；（2）炮彈的射高關(guān)于k的函數(shù)g（k）=

5k2

1+k2

（k＞0；（3）不存在k的值，使得通過適當(dāng)調(diào)整炮彈的發(fā)射方位，就能擊中飛行高度為5千米的飛行物．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查求函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．