Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，D是棱B₁C₁的中點(diǎn)，可證得CC₁⊥A₁D，A₁D⊥B₁C₁，結(jié)合線面垂直的判定定理可得A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA₁為x，y，z軸方向建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出平面A₁DC的法向量和平面ACC₁A₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角D-A₁C-A的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB，
所以AA₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
因?yàn)锳₁D?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁D，
又因?yàn)锳₁B₁=A₁C₁，D為B₁C₁中點(diǎn)，
所以A₁D⊥B₁C₁．
因?yàn)镃C₁∩B₁C₁=C₁，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C．--------（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
設(shè)AB=1，則C(0，1，0)， B(1，0，0)， A1(0，0，1)， D(

1

2

，

1

2

，1).

A1D

=(

1

2

，

1

2

，0)， 

A1C

=(0，1，-1)，
設(shè)平面A₁DC的法向量為

n

=(x，y，z)，則有

n •A1D=0 n •A1C=0

，

x+y=0 y-z=0

，x=-y=-z，
取x=1，得

n

=(1，-1，-1)．
又因?yàn)?span id="ksmg0yk" class="MathJye">|

n • AB

| n || AB |

|=

1

3

=

3

3

，AB⊥平面ACC₁A₁，
所以平面ACC₁A₁的法向量為     

AB

=(1，0，0)，因?yàn)槎�面角D-A₁C-A是鈍角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值為-

3

3

．-------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握直三棱柱的幾何特征及線面垂直的判定定理，（2）的關(guān)鍵是求出平面A₁DC的法向量和平面ACC₁A₁的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．