Question

函數(shù)f(x)=x+

a

x

（a為常數(shù)）的圖象過點(diǎn)（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）討論關(guān)于x的方程|f（x）|=t+4x-x²（t為常數(shù)）的正根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先依題意有0=2+

a

2

?a=-4，從而得出函數(shù)的解析式：f(x)=x-

4

x

，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義：由f（-x）=-f（x）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，等價(jià)于x-

4

x

+2x-m＞0對(duì)x∈[2，3]恒成立，得(x-

4

x

+2x)min＞m，下面研究h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]的單調(diào)性即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（III）設(shè)y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²結(jié)合圖象得出結(jié)論：①當(dāng)t＜-4時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為0；②當(dāng)t=-4時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為1；③當(dāng)t＞-4時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為2．

解答：解：（Ⅰ）依題意有0=2+

a

2

?a=-4，
此時(shí)f(x)=x-

4

x

，其定義域?yàn)閤|x≠0，由f（-x）=-f（x）即f(x)=x-

4

x

為奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，即x-

4

x

+2x-m＞0對(duì)x∈[2，3]恒成立，得(x-

4

x

+2x)min＞m
令h(x)=x-

4

x

+2x，x∈[2，3]先證其單調(diào)遞增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
則h(x2)-h(x1)=x2-

4

x2

+2x2-(x1-

4

x1

+2x1)=

(x2-x1)(x1x2+4)

x1x2

+(2x2-2x1)
因?yàn)?≤x₁＜x₂≤3，則h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]遞增，
則h(x)=x-

4

x

+2x的最小值h（2）=4，∴m＜4；
（III）設(shè)y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²
結(jié)合圖象得：
①當(dāng)t＜-4時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為0；
②當(dāng)t=-4時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為1；
③當(dāng)t＞-4時(shí)，正根的個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．