Question

9．求y=cos²x-sinx-3的值域．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)知識(shí)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為正弦函數(shù)的形式，令sinx=t，則t∈[-1，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值域即可．

解答 解：化簡(jiǎn)可得y=cos²x-sinx-3=-sin²x-sinx-2
=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，
令sinx=t，則t∈[-1，1]，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知y=-2（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{4}$，
在t∈[-1，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞增，在t∈[$\frac{1}{2}$，1]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取到最大值：$-\frac{7}{4}$，
當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)取到最小值-2．
y=cos²x-sinx-3的值域：[-2，-$\frac{7}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，換元是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．