Question

在△ABC中，射影定理可以表示為a=bcosC+ccosB，其中a，b，c依次為角A、B、C的對(duì)邊．類比以上定理，如圖，在四面體P-ABC中，S₁、S₂、S₃、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成角的大小，我們猜想將射影定理類比推廣到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：這是一個(gè)類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點(diǎn)的性質(zhì)類比推理到線的性質(zhì)，由線的性質(zhì)類比推理到面的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由已知在平面幾何中，在△ABC中，如果點(diǎn)A在BC邊上的射影是D，△ABC的三邊BC、AC、AB的長(zhǎng)依次是a、b、c，則a=b•cosC+c•cosb，
我們可以類比這一性質(zhì)，推理出：
若四面體P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面積依次為S、S₁、S₂、S₃，
二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度數(shù)依次為α、β、γ，則S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
故答案為：S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．

點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．