Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其焦點，點P在橢圓上．
（Ⅰ）若∠F₁PF₂=90°，且△PF₁F₂的面積等于1，求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線PF₁交橢圓于另一點Q，分別過點P，Q作直線PQ的垂線，交x軸于點M，N，當(dāng)|MN|取最小值時，求直線PQ的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由已知可得：

1 2 mn=1 m2+n2=(2c)2 m+n=2a c a = 2 2 ，a2=b2+c2

，解得即可；
（II）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，可得

c

a

=

2

2

，可得橢圓的方程可化為x²+2y²=2c²．
由題意可知PQ的斜率存在，設(shè)PQ的方程為：y=k（x+c），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．（k≠0）．與橢圓方程聯(lián)立可得化為（1+2k²）x²+4k²cx+2k²c²-2c²=0，
直線PM的方程為：y-y1=-

1

k

(x-x1)，令y=0，可得x_M=x₁+ky₁．同理可得x_N=x₂+ky₂，把根與系數(shù)的關(guān)系代入|MN|=|x₂-x₁+k（y₂-y₁）|=|1+k²||x₂-x₁|=|1+k²|

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)3 (1+2k2)2

．令t=1+k²＞1，f（t）=

t3

(2t-1)2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由已知可得：

1 2 mn=1 m2+n2=(2c)2 m+n=2a c a = 2 2 ，a2=b2+c2

，解得b²=1，c=1，a²=2．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

2

+y2=1．
（II）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，可得

c

a

=

2

2

，a=

2

c=

2

b，
∴橢圓的方程可化為x²+2y²=2c²．
由題意可知PQ的斜率存在，設(shè)PQ的方程為：y=k（x+c），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．（k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x+c) x2+2y2=2c2

，化為（1+2k²）x²+4k²cx+2k²c²-2c²=0，
∴x₁+x₂=

-4k2c

1+2k2

，x1x2=

2k2c2-2c2

1+2k2

，
直線PM的方程為：y-y1=-

1

k

(x-x1)，令y=0，可得x_M=x₁+ky₁．
同理可得x_N=x₂+ky₂，
∴|MN|=|x₂-x₁+k（y₂-y₁）|=|1+k²||x₂-x₁|=|1+k²|

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

c

(1+k2)3 (1+2k2)2

．
令t=1+k²＞1，f（t）=

t3

(2t-1)2

，則f′（t）=

3t2(2t-1)2-t3•4(2t-1)

(2t-1)4

=

t2(2t-3)

(2t-1)3

．
令f′（t）＞0，解得t＞

3

2

，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；令f′（t）＜0，解得1＜t＜

3

2

，此時函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=

3

2

時，函數(shù)f（t）取得最小值，f(

3

2

)=

27

32

，即k2=

1

2

時，|MN|取得最小值2

2

c×

27 32

=

3 3 c

2

．
當(dāng)k=0時，可得|MN|=2a=2

2

c．
而2

2

c＞

3 3 c

2

．
∴當(dāng)|MN|取最小值時

3 3 c

2

，直線PQ的斜率k=±

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．