Question

12．如圖，一條直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若點D的坐標(biāo)為（2，1），則拋物線方程為（　　）

• A． y²=$\frac{5}{4}$x
• B． y²=$\frac{5}{2}$x
• C． y²=5x
• D． y²=10x

Answer 1

分析 利用OD⊥AB，可求直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB，利用向量的數(shù)量積公式，即可求出p的值．

解答 解：∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又k_OD=$\frac{1}{2}$，∴k_AB=-2，
∴直線AB的方程為y=-2x+5，
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則
由OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．
則x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-2x₁+5）（-2x₂+5）=5x₁x₂-10（x₁+x₂）+25=0，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$，
消y可得4x²-（20+2p）x+25=0①
∴x₁+x₂=$\frac{10+p}{2}$，x₁x₂=$\frac{25}{4}$．
∴x₁x₂+y₁y₂=5×$\frac{25}{4}$-10×$\frac{10+p}{2}$+25=0，
∴p=$\frac{5}{4}$，
當(dāng)p=$\frac{5}{4}$時，方程①成為8x²-45x+50=0顯然此方程有解．
∴p=$\frac{5}{4}$成立，
即有拋物線的方程為y²=$\frac{5}{2}$x．
故選B．

點評 本題主要考查拋物線方程，同時考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．