Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：s_n+a_n=2-2^1-n（n為正整數(shù)）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，證明1≤T_n＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2ⁿ•a_n=2^n-1•a_n-1+1，由bn=2nan，得b_n=b_n-1+1，所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=

n+1

n

a_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，利用錯位相減法得T_n=3-

n+3

2n

，由此能證明1≤T_n＜3．

解答： （1）解：s_n+a_n=2-2^1-n令n=1，得S₁=-a₁-1+2=a₁，解得a₁=

1

2

，
當(dāng)n≥2時，S_n-1+a_n-1=2-（

1

2

）^n-2，
∴a_n=s_n-s_n-1=-a_n+a_n-1+(

1

2

)n-2-(

1

2

)n-1
∴2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿ•a_n=2^n-1•a_n-1+1，
∵b_n=2ⁿ•a_n，∴b_n=b_n-1+1，
即當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴b_n=2ⁿ•a_n=1-（n-1）×1=n，
∴a_n=

n

2n

．
（2）證明：由（Ⅰ）得c_n=

n+1

n

a_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
兩式相減，得：

1

2

T_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

．
∴T_n＜3，又c_n＞0，∴T_n遞增，T_n≥T₁=1，
∴1≤T_n＜3．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．