【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當m≥1時,討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù).
【答案】
(1)解:f(x)的定義域是(0,+∞),m>0,
f′(x)= ,
令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)<0,解得:x< ,
∴f(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增
(2)解:f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù),
即函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零點個數(shù)問題,
h′(x)=﹣ ,
令h′(x)>0,解得:1<x<m,令h′(x)<0,解得:x>m或x<1,
∴h(x)在(0,1)遞減,在(1,m)遞增,在(m,+∞)遞減,
∴h(x)極小值=h(1)=m+ >0,
∴h(x)和x軸有1個交點,
即函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)是1個
【解析】(1)先求出函數(shù)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零點個數(shù)問題,通過求導,得到函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間,求出h(x)的極小值,從而求出函數(shù)h(x)的零點個數(shù)即f(x)和g(x)的交點個數(shù).
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚,從中任取2枚棋子都是白色的概率為. 現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,……,取后均不放回,直到有一人取到白棋即終止. 每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用表示取棋子終止時所需的取棋子的次數(shù).
(1)求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望;
(2)求甲取到白棋的概率.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點處,極軸與軸的正半軸重合,兩坐標系單位長度相同.已知曲線的極坐標方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。
(Ⅰ)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線上到直線的距離為的點的個數(shù)為,求的解析式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知動點到點和直線l: 的距離相等.
(Ⅰ)求動點的軌跡E的方程;
(Ⅱ)已知不與垂直的直線與曲線E有唯一公共點A,且與直線的交點為,以AP為直徑作圓.判斷點和圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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【題目】某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動.為了了解本次競賽學生成績情況,從中抽取了部分學生的分數(shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計.按照,,,,的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在,的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取2名同學到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動,求所抽取的2名同學來自不同組的概率.
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【題目】“現(xiàn)代五項”是由現(xiàn)代奧林匹克之父顧拜旦先生創(chuàng)立的運動項目,包含射擊、擊劍、游泳、馬術(shù)和越野跑五項運動.已知甲、乙、丙共三人參加“現(xiàn)代五項”.規(guī)定每一項運動的前三名得分都分別為,,(且),選手最終得分為各項得分之和.已知甲最終得22分,乙和丙最終各得9分,且乙的馬術(shù)比賽獲得了第一名,則游泳比賽的第三名是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙都有可能
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)= x+m(m,n∈R).
(1)若T(x)=f(x)g(x),m=1﹣,求T(x)在[0,1]上的最大值;
(2)若m=﹣,n∈N*,求使f(x)的圖象恒在g(x)圖象上方的最大正整數(shù)n.[注意:7<e2<].
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【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(﹣x2+ax)ex(x∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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【題目】已知拋物線的方程為,過點的一條直線與拋物線交于兩點,若拋物線在兩點的切線交于點.
(1)求點的軌跡方程;
(2)設(shè)直線與直線的夾角為,求的取值范圍.
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