Question

橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．

(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析，.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)P的距離列出方程組，解出基本量a，b，c，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，用直線與橢圓聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理得到和，由于AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ，所以，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，將前面的式子都代入，得到 或 m = －2k，經(jīng)驗(yàn)證都符合題意，則分別求出定點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證，最終得到結(jié)論.

試題解析：（1）由題： ①

左焦點(diǎn) (－c,0) 到點(diǎn) P(2,1) 的距離為：② 2分

由①②可解得c = 1 ， a = 2 ， b 2 = a 2－c 2 = 3． 3分

∴所求橢圓 C 的方程為． 4分

（2）設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2)，將 y = kx + m代入橢圓方程得

(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2－12 = 0．

∴，， 6分

且y1 = kx1 + m，y2 = kx2 + m．

∵AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ，所以． 7分

所以 (x1－2,y1)·(x2－2,y2) = (x1－2) (x2－2) + y1y2 = (x1－2) (x2－2) + (kx1 + m) (kx2 + m)

= (k 2 + 1) x1x2 + (km－2) (x1 + x2) + m 2 + 4

= (k 2 + 1)·－(km－2)·+ m 2 + 4 = 0 ． 10分

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0．∴ 或 m = －2k 都滿足 △ > 0． 12分

若 m = －2k 時(shí)，直線 l 為 y = kx－2k = k (x－2) ，恒過定點(diǎn) A2(2,0)，不合題意舍去； 13分

若時(shí)，直線 l 為， 恒過定點(diǎn) ． 14分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題.