Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
（2）從圓C外一點P（x₁，y₁）向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）當截距比為0時，根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設出切線方程x+y=a，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切線的方程；當截距為0時，設出切線方程為y=kx，同理列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；
（2）根據(jù)圓切線垂直于過切點的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出點P的軌跡方程，由軌跡方程得到動點P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動點的軌跡方程，兩者聯(lián)立即可此時P的坐標．
解答：解：（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為x+y=a，
又∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圓心C（-1，2）到切線的距離等于圓的半徑，
即，
解得：a=-1或a=3，
當截距為零時，設y=kx，
同理可得或，
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y-3=0或或．

（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
∴|PM|²=|PC|²-|CM|²．
∴（x₁+1）²+（y₁-2）²-2=x₁²+y₁²．
∴2x₁-4y₁+3=0．
∴動點P的軌跡是直線2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值為原點O到直線2x-4y+3=0的距離，
∴由，可得
故所求點P的坐標為．
點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，會根據(jù)條件求動點的軌跡方程，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．