已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在點x0處取得極小值-4,若f′(x)>0的x的取值范圍為(1,3).
(Ⅰ)求f(x)的解析式及f(x)的極大值;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=6(2-m)x,當(dāng)x∈[2,3]時,函數(shù)y=f′(x)的圖象恒在y=g(x)的圖象的下方,求m的取值范圍.
(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=3ax2+2bx+c,依題意有a>0,且1,3分別為f(x)的極小值,極大值點,
∴f′(1)=0,f′(3)=0,f(1)=-4
a+b+c=-4
3a+2b+c=0
27a+6b+c=0
,解得a=-1,b=6,c=-9,
∴f(x)=-x3+6x2-9x,
∴f(x)的極大值為f(3)=0;
(Ⅱ)∵當(dāng)x∈[2,3]時,函數(shù)y=f′(x)的圖象恒在y=g(x)的圖象的下方,
∴-3x2+12x-9<6(2-m)x,
∴6(2-m)>-3(x+
3
x
)+12,
設(shè)y=x+
3
x
,則y′=1-
3
x2
,∴y=x+
3
x
在[2,3]上是增函數(shù),∴x+
3
x
7
2

∴-3(x+
3
x
)+12≤
3
2

∴6(2-m)>
3
2

∴m<
7
4
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過點(1,3),解不等式f(
2x
)>3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

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