已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖2）。
（Ⅰ）當(dāng)x=2時，求證：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值。
解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，又EF∥AD，∠AEF=，
∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz，
∵EA=2，∴EB=2，
又∵G為BC的中點，BC=4，
∴BG=2，則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），
D（0，2，2），E（0，0，0），
（-2，2，2），（2，2，0），
（-2，2，2）?（2，2，0）=0，
∴BD⊥EG。
（Ⅱ）∵AD∥面BFC，
所以

，
即x=2時，f（x）有最大值。
（Ⅲ）設(shè)平面DBF的法向量為，
∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2）， F（0，3，0），
∴（-2，2，2），
則，
即，，
取x=3，y=2，z=1，∴，
∵AE⊥面BCF，∴面BCF一個法向量為，
則，
由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，
所以此二面角的余弦值為-。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，點E分有向線段
.
AC
所成的比為λ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點，當(dāng)
2
3
≤λ≤
3
4
時，求雙曲線離心率c的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．
（1）當(dāng)x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，沿EF將梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如圖）．設(shè)AE=x，四面體DFBC的體積記為f（x）．
（1）寫出f（x）表達式，并求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)x=2時，求異面直線AB與DF所成角θ的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．G是BC的中點，以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f（x）．
（1）當(dāng)x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）求f（x）的最大值；
（3）當(dāng)f（x）取得最大值時，求異面直線AE與BD所成的角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD內(nèi)，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案