Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F₂的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求△F₁AB的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點，離心率e，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l的方程為x=ty+1，代入2x²+3y²=6得得（2t²+3）y²+4ty-4=0，
由此利用韋達定理、弦長公式、換元法、函數(shù)單調性，結合已知條件能求出△F₁PQ面積的最小值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴2c=2，c=1，又∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，∵a²=b²+c²，∴$b=\sqrt{2}$
橢圓C的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設直線l的方程為x=ty+1，代入2x²+3y²=6得得（2t²+3）y²+4ty-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4t}{2{t}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-4}{2{t}^{2}+3}$，
△F₁AB的面積s=$\frac{1}{2}$2c•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{t}^{2}+1}}{2{t}^{2}+3}$，
令u=$\sqrt{1+{t}^{2}}$∈[1，+∞），則s=$\frac{4\sqrt{3}u}{2{u}^{2}+1}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2u+\frac{1}{u}}$，
∵y=2u+$\frac{1}{u}$在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當μ=1，即t=0時，△F₁AB的面積的最小值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，注意韋達定理、弦長公式、換元法、函數(shù)單調性的合理運用．屬于中檔題．