Question

3．?dāng)?shù)列{a_n}中，對(duì)任意自然數(shù)n∈N_*，恒有a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

Answer 1

分析 由題意易得a_n=2^n-1，可得{a_n²}是1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可得．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁=2¹-1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)上式也適合，∴a_n=2^n-1，
∴$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴{a_n²}是1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．
故答案為：$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的判定，考查運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．