Question

已知圓x²+y²+2x-4y+F=0與x軸相切于點A，另y軸上有點B（0，2）．
求：
（1）點A的坐標(biāo)與F的值；
（2）直線AB截得圓的弦長．

Answer 1

分析：（1）將圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得（x+1）²+（y-2）²=5-F，結(jié)合圓C與x軸相切于點A，可得A的坐標(biāo)為（-1，0）．再由點到直線的距離建立關(guān)于F的方程，可解出F的值；
（2）根據(jù)直線方程的兩點式，給出直線AB的方程，再運用點到直線的距離算出圓心C到AB的距離，最后根據(jù)垂徑定理即可算出直線AB截得圓的弦長．

解答：解：（1）設(shè)圓的圓心為C，則
將圓C：x²+y²+2x-4y+F=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程得 （x+1）²+（y-2）²=5-F，
可得圓C表示以（-1，2）為圓心，以

5-F

為半徑的圓．
∵圓x²+y²+2x-4y+F=0與x軸相切于點A，
∴切點A的坐標(biāo)為（-1，0）
C（-1，2）到x軸的距離等于半徑，即2=

5-F

，解之得F=1；
（2）∵A（-1，0），B（0，2）．
∴直線AB方程為

y-2

0-2

=

x-0

-1-0

，即2x-y+2=0
∵點C（-1，2）到2x-y+2=0的距離為d=

|-2-2+2|

5

=

2 5

5

∴直線AB截得圓的弦長為：2

r2-d2

=

8 5

5

點評：本題給出與x軸相切的圓，求直線AB被圓截得的弦長，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．