Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，點A為拋物線上的一點，其縱坐標(biāo)為1，|AF|=

5

4

．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)B，C為拋物線上不同于A的兩點，且AB⊥AC，過B，C兩點分別作拋物線的切線，記兩切線的交點為D，求|OD|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由點A為拋物線上的一點，其縱坐標(biāo)為1，|AF|=

5

4

，根據(jù)拋物線的定義，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）求出B、C處的切線方程，聯(lián)立求出D的坐標(biāo)，結(jié)合A（1，1）且AB⊥AC，求出|OD|，即可求出|OD|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線定義得：|AF|=yA+

p

2

，
∴

p

2

+1=

5

4

，
∴p=

1

2

------（2分）
∴拋物線方程為x²=y------（4分）
（Ⅱ）設(shè)B(x1，

x

2 1

)，C(x2，

x

2 2

)，則
∵A（1，1）且AB⊥AC，
∴

x 2 2 -1

x   2 -1

•

x 2 1 -1

x   1 -1

=-1
即（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2------（6分）
又∵y′=2x，∴B、C處的切線的斜率為k₁=2x₁，k₂=2x₂，
∴B、C處的切線方程為y-

x

2 1

=2x1(x-x1)和y-

x

2 2

=2x2(x-x2)
由

y- x 2 1 =2x1(x-x1) y- x 2 2 =2x2(x-x2)

得D(

x1+x2

2

，x1x2)------（8分）
設(shè)x₁x₂=t，由（x₁+x₂）+x₁•x₂=-2得

x1+x2

2

=-1-

t

2

，
∴|OD|2=(-1-

t

2

)2+t2=

5

4

t2+t+1------（10分）
當(dāng)t=-

2

5

時，|OD|2min=

4

5

，
∴|OD|min=

2 5

5

------（12分）

點評：本題考查拋物線的定義與方程，考查拋物線的切線方程，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．