Question

如圖，三棱錐P-ABC中，AB=AC=2

10

，BC=4，PC=2

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，點P在平面ABC內的射影恰為△ABC的重心G，M為側棱AP上一動點．
（1）求證：平面PAG⊥平面BCM；
（2）當M為AP的中點時，求直線BM與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）取BC中點D，連接AD、PD，由已知條件推導出PG⊥BC，AG⊥BC，從而得到BC⊥平面PAG，由此能夠證明平面PAG⊥平面BCM．
（2）以過G作BC的平行線為x軸，AG為y軸，GP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線BM與平面PBC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）取BC中點D，連接AD、PD，
∵PG⊥平面ABC，∴PG⊥BC，
等腰△ABC中，G為重心，∴AG⊥BC，
∴BC⊥平面PAG，
∴平面PAG⊥平面BCM．…（6分）
（2）△ABC中，AD=6，∴GD=2，
∵BC⊥平面PAG，∴CD⊥PD，
∴PD=2

10

，∴GP=6，
過G作BC的平行線為x軸，AG為y軸，GP為z軸，
建立空間直角坐標系，
由題意知B（2，2，0），C（-2，2，0），P（0，0，6），A（0，-4，0），
∴M（0，-2，3），
設直線BM與平面PBC所成角為θ，
設平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），
∵

CB

=(4，0，0)，

PB

=(2，2，-6)，
∴

n • CB =4x=0 n • PB =2x+2y-6=0

，
取y=3，得z=1，∴

n

=(0，3，1)，
∵

BM

=(-2，-4，3)，
∴sinθ=|cos＜

n

，

BM

＞|=

| n • BM |

| n |•| BM |

=

9

290

=

9 290

290

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．