已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx-3a（a，b，c∈R且a≠0），當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取到極大值2．
（1）用a分別表示b和c；
（2）當(dāng)a=l時(shí)，求f（x）的極小值；
（3）求a的取值范圍．

解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx-3a，∴f′（x）=3ax2 +2bx+c．
由題意可得 ，即 ，解得 ．
（2）當(dāng)a=l時(shí)，b=2，c=1，函數(shù)f（x）=x3 +2x2 +x-3，
令f′（x）=3x2 +4x+1=（3x+1）（x+1）=0，可得x=-1 x=-．
在（-∞，-1）、（-，+∞）上，f′（x）＜0，在（-1，-）上f′（x）＞0，
故當(dāng) x=-時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值為f（-）=．
（3）由（1）得f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a=3a（x+1）（x-），
令f′（x）=0解得x1=-1，x2=，
∴要使f（x）極大值為f（-1）=2，
則 ，或 ．
解得 a＞．
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知在x=-1處f（x）取得極大值2，代入可得方程組進(jìn)一步得到a，b，c的關(guān)系．
（2）當(dāng)a=l時(shí)，令f′（x）=0，可得x=-1 x=-．根據(jù)f′（x）的符號(hào)可得當(dāng) x=-時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值為f（-）．
（3）在（1）的基礎(chǔ)上得到函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3ax2+2（a+1）x+2-a，由已知要使函數(shù)f（x）有極大值需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a和極值點(diǎn)進(jìn)行討論，易得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)的極值問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿(mǎn)足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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