Question

下面的一組圖形為某一四棱錐S－ABCD的側(cè)面與底面．

(Ⅰ)請畫出四棱錐S－ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，請給出證明；

(Ⅱ)若E為AB中點，求證：平面SEC⊥平面SCD；

(Ⅲ)(理科)求二面角B－SC－D的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)存在一條側(cè)棱SA⊥面ABCD，如圖所示． 　　∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD 　　又∵，∴SA⊥面ABCD　(理)3分(文)4分 　　(Ⅱ)取SD中點F，SC的中點G，連結(jié)AF、FG、EG 　　∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD　(文)5分 　　又∵CD⊥AD且SA∩AD＝A 　　∴CD⊥面SAD 　　∴CD⊥AF　(文)7分 　　∵Rt△SAD中，SA＝AD，∴AF⊥SD　(文)8分 　　又∵CD∩SD＝D，∴AF⊥面SCD 　　 　　 　　∴四邊形AEGF為平行四邊形 　　∴EG∥AF 　　∴EG⊥面SCD　(文)10分 　　又∵面SEC，∴平面SEC⊥平面SCD　8分(文)12分 　　(Ⅲ)過D作DH⊥SC于H，連結(jié)HB、BD 　　∵△SBH≌△SDH 　　∴∠BHS＝∠DHS＝90° 　　∴BH⊥SC 　　∴∠BHD為二面角B－SC－D的平面角 　　Rt△SDC中， 　　△BHD中， 　　 　　∴∠BHD＝120° 　　∴二面角B－SC－D的大小為120°　12分 　　解法二：理科參考 　　(Ⅰ)同解法一　3分 　　(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz．取SC中點G，連結(jié)EG，SE，EC，則A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，S(0，0，a)， 　　 　　又⊥面SDC 　　∵面SEC 　　∴平面SEC⊥平面SDC　8分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)得平面SDC的一個法向量為，設(shè)平面SBC的法向量為 　　 　　由可得： 　　 　　且，設(shè) 　　則 　　，結(jié)合圖形知 　　二面角B－SC－D的大小為120°　12分