Question

設兩個方程x²－ax＋1＝0，x²－bx＋1＝0的四個根組成以2為公比的等比數列，求ab的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　根據四個根成等比數列，可先恰當設出四個根，再由方程中的特殊：常數項同時為1，判斷出哪兩項對應哪個方程的兩個根，然后用韋達定理得出根與系數關系，從而求出ab的值． 　　解答　　設以2為公比，成等比數列的四個根依次為a，2a，4a，8a(a≠0)． 　　∵兩方程x2－ax＋1＝0，x2－bx＋1＝0的常數項同為1， 　　∴只有 　　時才有解，此時a2＝， 　　∴a，8a是其中一個方程的兩根，2a，4a是另一方程的兩根，不妨設a，8a是x2－ax＋1＝0的兩根，2a，4a是x2－bx＋1＝0的兩根， 　　則即 　　∴ab＝54a2＝ 　　評析　　等差、等比數列可與函數、方程、不等式、三角等內容進行綜合應用．而在求成等差、等比數列的幾個數時，必須注意設元的技巧，如成等差數列的三個數可設為：a－b，a，a＋b，成等比數列的三個數可設為aq－1，a，aq，從而簡化運算．