Question

17．已知當(dāng)x∈（-$\frac{π}{6}$，π）時，不等式cos2x-2asinx+6a-1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用二倍角公式把題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的一元二次不等式，求得sinx的范圍，利用x的范圍可求得sinx的范圍，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立推斷出

解答 解：cos2x-2asinx+6a-1＞0，
∴1-2sin²x-2asinx+6a-1＞0，
∴sin²x+asinx-3a＜0，
設(shè)x∈（-$\frac{π}{6}$，π）時，sinx∈（-$\frac{1}{2}$，1），∴t∈（-$\frac{1}{2}$，1），
t²+at-3a＜0，
由二次函數(shù)性質(zhì)，對稱軸x=-a，
當(dāng)-a＜-$\frac{1}{2}$，即a＞$\frac{1}{2}$，最大值為t=1，即1+a-3a＜0，
∴a＞$\frac{1}{2}$，
當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜-a＜1，及-1＜a＜$\frac{1}{2}$，
無解，
當(dāng)-a＞1，a＜-1時，
無解；
∴綜上可知：a＞$\frac{1}{2}$．
故答案為：a＞$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值．考查了三角函數(shù)與不等式的綜合．