Question

已知函數(shù)f(x)=alnx-

1

2

x2+

1

2

（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論，求得f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，即可求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=

-x2+a

x

．…（2分）
令f′（x）=0得x=

a

或x=-

a

（舍）．
函數(shù)f（x），f′（x）隨x的變化如下：

x	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

a

），單調(diào)遞減區(qū)間是（

a

，+∞）．…（6分）
（2）由（1）可知：
①當(dāng)

a

≤1，即0＜a≤1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f_max（x）=f（1）=0…（9分）
②當(dāng)

a

＞1，即a＞1時(shí)，f（x）在[1，

a

）上單調(diào)遞增，（

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
∴fmax(x)=f(

a

)=

alna-a-1

2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．