Question

已知函數(shù)y=log₂（1-x）的圖象上兩點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)分別為a-2，a，其中a≤0．又A（a-1，0），求△ABC面積的最小值及相應(yīng)的a的值．

Answer 1

分析：解法一：S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'，將已知中各點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得△ABC面積的解析式，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到△ABC面積的最小值及相應(yīng)的a的值．
解法二：過A作L平行于y軸交BC于D，根據(jù)梯形的中位線定理可得，D是BC中點(diǎn)，由S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB=|AD|可得△ABC面積的解析式，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到△ABC面積的最小值及相應(yīng)的a的值．

解答：解：如圖

解法一：
S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'
=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]•2-

1

2

log2(3-a)•1-

1

2

log2(1-a)•1
=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]
=

1

2

log2(a2-4a+3)
又a≤0，
故當(dāng)a=0時(shí)，(S△ABC)min=

1

2

log23
解法二：
過A作L平行于y軸交BC于D，由于A是B'C'中點(diǎn)
∴D是BC中點(diǎn)
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB
=

1

2

|AD|•1+

1

2

|AD|•1=|AD|
∵|AD|=

yB+yC

2

=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]
=

1

2

log2(a2-4a+3)
又a≤0，
故當(dāng)a=0時(shí)，(S△ABC)min=

1

2

log23

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知求出△ABC面積的解析式，是解答的關(guān)鍵．