Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）e^ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-4，4）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立．

解答： 解：（1）若a=0，則f（x）=x，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
若a≠0，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^ax+a（x+a）e^ax=（ax+a²+1）e^ax．
若a＞0，由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＞0，即ax＞-a²-1，
則不等式等價(jià)為x＞

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＜0，即ax＜-a²-1，
則不等式等價(jià)為x＜

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
若a＜0，由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＞0，即ax＞-a²-1，
則不等式等價(jià)為x＜

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=（ax+a²+1）e^ax＜0，即ax＜-a²-1，
則不等式等價(jià)為x＞

-a2-1

a

=-a-

1

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
綜上：a=0，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞），
a＞0，函數(shù)的遞增區(qū)間是（-a-

1

a

，+∞），遞減區(qū)間是（-∞，-a-

1

a

），
a＜0，函數(shù)的遞減區(qū)間是（-a-

1

a

，+∞），遞增區(qū)間是（-∞，-a-

1

a

）．
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-4，4）上單調(diào)遞增，則f′（x）=（ax+a²+1）e^ax≥0恒成立，
即ax+a²+1≥0，
設(shè)g（x）=ax+a²+1，則滿足

g(-4)=a2-4a+1≥0 g(4)=a2+4a+1≥0

，
則

a≥2+ 3 或a≤2- 3 a≥-2+ 3 或a≤-2- 3

，
即a≤-2-

3

或-2+

3

≤a≤2-

3

或a≥2+

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，綜合考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．