Question

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x²-ax-2=0的兩根為tanα，tanβ（-

π

2

＜α＜β＜

π

2

），函數(shù)f（x）=4sinxcosx-acos²x（a∈R）．
（1）求tan（α+β）的值．
（2）求證：f（x）在[α，β]上是增函數(shù)；
（3）當(dāng)a為何值時(shí)，f（x）在[α，β]上的最大值與最小值之差最小．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由韋達(dá)定理知tanα+tanβ=

a

2

，tanαtanβ=-1故可求tan（α+β）的值；
（2）原式可化簡為f（x）=

4tanx-a

tan2x+1

，設(shè)x₁＜x₂，推得f（x₁）＜f（x₂）故可證f（x）在[α，β]上是增函數(shù)；
（3）f（x）在[α，β]上是增函數(shù)，有g(shù)（x）=f（x）_max-f（x）_min=f（β）-f（α）=2

a2 4 +4

，故當(dāng)a=0時(shí)，g（x）_min=4．

解答： 解：（1）由韋達(dá)定理知tanα+tanβ=

a

2

，tanαtanβ=-1，故tan（α+β）=

a 2

1-(-1)

=

a

4

．
（2）f（x）=4sinxcosx-acos²x=

4sinxcosx-acos2x

sin2x+cos2x

=

4tanx-a

tan2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂，則tanx₁＜tanx₂，
f（x₁）-f（x₂）=

4tanx1-a

tan2x1+1

-

4tanx2-a

tan2x2+1

=

4tanx1tan2x2+4tanx1-atanx2-a-(4tanx2tan2x1+4tanx2-atan2x1-a)

(tan2x1+1)(tan2x2+1)

=

[4tanx1tanx2-4-a(tanx1+tanx2)](tanx2-tanx1)

(tan2x1+1)(tan2x2+1)

＜0（4tanx₁tanx₂-atanx₁-atanx₂-4＜0）
所以有f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[α，β]上是增函數(shù)．
（3）f（x）在[α，β]上是增函數(shù)，
所以g（x）=f（x）_max-f（x）_min=f（β）-f（α）=-

(-8- a2 2 ) a2 4 +4

1+ a2 4 +2+1

=2

a2 4 +4

故當(dāng)a=0時(shí)，g（x）_min=4．

點(diǎn)評：本題主要考察了兩角和與差的正切函數(shù)，三角函數(shù)的最值，函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的證明等，屬于中檔題．