Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P為AD₁的中點(diǎn)，（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C；（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證：直線C₁P∥平面AB₁C，取B₁C中點(diǎn)Q，連接AQ，只需證明PC₁∥AQ即可；
（2）求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值，法一：作出異面直線所成的角，直接解三角形即可；法二：利用空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，求數(shù)量積即可．
解答：解：（1）證明：取B₁C中點(diǎn)Q，連接AQ，QC₁，
則QC₁∥AP且QC₁=AP，所以四邊形APC₁Q是平行四邊形，所以PC₁∥AQ，
又AQ?平面AB₁C，C₁P?平面AB₁C，所以直線C₁P∥平面AB₁C
（2）解法一：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連接B₁E（如圖），
則PE∥AA₁，∴∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角．
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°
∴∠A₁AD₁=30°
∴，，
∴．
又．
∴在 Rt△B₁PE中，．
∴異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為．

解法二：以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，
則A₁（0，0，0），，B₁（2，0，0），，
∴，
∴=．
∴異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，異面直線所成的角，考查學(xué)生邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．