如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=4，AD=6，F(xiàn)，E分別是線段PD，CD的中點．
（1）求直線AF和PB所成角的余弦值；
（2）求二面角F-AE-B平面角的余弦值．
分析：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸立空間直角坐標系，寫出A，B，C，D，E，F(xiàn)，P各點坐標，
（1）求出
AF，
PB
夾角余弦值，再根據(jù)異面直線夾角與直線方向向量夾角關系求出．
（2）先求出平面BAE，面FAE的法向量，再求出兩法向量夾角的余弦值，利用二面角平面角與法向量夾角關系求出即可．
解答：解：如圖以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系．則A（0，0，0），B（6，0，0），C（6，6，0）D（0，6，0），P（0，0，4）E（3，6，0），F(xiàn)（0，3，2）．
（1）cos＜
AF
，
PB
＞=
AF
•
PB
|
AF
||
PB
|
=
4
13
…（6分）
∴直線AF和PB所成角的余弦值為
4
13

（2）由圖易知設平面BAE的一個法向量為
n
=(0，0，1)．
設平面FAE的法向量為
m
=(x，y，z)，由
m
•
AF
=0，
m
•
AE
=0．得
3y+2z=0
3x+6y=0
令y=2，則
m
=（-4，2，-3）∴|cos＜
n
，
m
＞|= 
3
(-4)2+22+(-3)2
= 
3
29
因為二面角F-AE-B為鈍二面角，所以二面角F-AE-B平面角的余弦值為-
3
29
29
．…（13分）
點評：本題考查空間角的度量考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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