Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋x²＋ax＋1(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，試討論是否存在x₀∈(0，)∪(，1)，使得f(x₀)＝f()．

Answer 1

解　(1)f′(x)＝x²＋2x＋a開口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)．

①當(dāng)1－a≤0，即a≥1時(shí)，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增．

②當(dāng)1－a>0時(shí)，即a<1時(shí)，令f′(x)＝0，解得x₁＝＝－1－，x₂＝－1＋.

令f′(x)>0，解得x<－1－或x>－1＋；

令f′(x)<0，解得－1－<x<－1＋；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)；

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1－，－1＋)．

綜上所述：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a<1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1－，－1＋)．

(2)當(dāng)a<0時(shí)，x₁＝－1－<0，x₂＝－1＋>0.

①當(dāng)－1＋≥1時(shí)，即a≤－3時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，不滿足題意；

②當(dāng)－1＋<1時(shí)，即－3<a<0時(shí)，f(x)在(0，－1＋)上單調(diào)遞減，在(－1＋，1)上單調(diào)遞增，

所以f(x)_min＝f(－1＋)，由題意知－1＋≠，所以a≠－.

f(x)_max＝max{f(0)，f(1)}；f(0)＝1，f(1)＝a＋.

a．當(dāng)a＋≥1時(shí)，即－≤a<0時(shí)，f(x)_max＝f(1)．

令f()<f(0)，解得a<－，

又因?yàn)椋?sub>≤a<0，所以－≤a<－且a≠－.

b．當(dāng)a＋<1時(shí)，即a<－時(shí)，f(x)_max＝f(0)．

令f()<f(1)，解得－<a<－.

綜上所述，當(dāng)a∈{a|－<a<－或－<a<－}時(shí)，存在x₀∈(0，)∪(，1)，使得f(x₀)＝f()．